МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ Національний університет «Львівська політехніка» Інститут Післядипломної освіти / Звіт про виконання ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ №2 з курсу "Комп’ютерна графіка" Тема. «Фрактали».  ЛЬВІВ-2014 Мета. Ознайомитись на практиці із основними поняттями теорії фракталів, навчитись будувати різні фрактальні зображення та використовувати IFS, як простий засіб отримання фрактальних структур. Теоретичні відомості. Фрактал (лат. fractus, fractal – дроблений) – термін, який ввів Бенуа Мандельброт в 1975 році для позначення нерегулярних самоподібних множин. Фрактал – це нескінченно самоподібна геометрична фігура, кожний фрагмент якої повторюється при зменшенні масштабу. Масштабна інваріантність, що спостерігається у фракталах, може бути або точною, або наближеною. Ще один варіант визначення: фрактал – самоподібна множина нецілої розмірності. Самоподібна множина – множина, що представляється у вигляді об'єднання однакових непересічних підмножин подібних до вихідної множини. Основні властивості фракталів:   Вони мають тонку структуру, тобто містять довільно малі масштаби.   Вони занадто нерегулярні, щоб бути описаними традиційною геометричною мовою.   Вони мають деяку форму самоподоби, допускаючи наближену. Оцінка фрактальності текстури здійснюється на основі обраного методу оцінки розміру фрактала. Оскільки розмір фрактала обчислюється через оцінку вибіркової регресії, то природно оцінювати фрактальність текстури за коефіцієнтом кореляції між логарифмом випадкової величини й логарифмом заданої функції кроку. При цьому ухвалення рішення про фрактальність текстури можна будувати таким чином: 1. побудувати залежність коефіцієнта кореляції від кроку; значення кроку, при якому функція має максимум, є максимальним кроком у діапазоні кроків, що задаються, при оцінці розміру фрактала; 2.  не враховувати оцінку розміру фрактала при низькому коефіцієнті кореляції в тих методах, де використовується оцінка фрактала як середнє значення в серії експериментів; 3.  не включати розмір фрактала в систему ознак для сегментації текстур при значеннях коефіцієнта кореляції < 0,7 . Класифікації фракталів. В основному фрактали ділять на геометричні, алгебраїчні й стохастичні. Однак існують і інші класифікації: рукотворні й природні. До рукотворних належать ті фрактали, які були винайдені вченими, вони при будь-якому масштабі володіють фрактальными властивостями. На природні фрактали накладається обмеження на область існування – тобто максимальний і мінімальний розмір, при яких у об'єкта спостерігаються фрактальні властивості. Геометричні фрактали – це найбільш наглядні і найпростіші для розуміння. В двовимірному випадку їх отримують за допомогою деякої ламаної кривої (або поверхні для тривимірного випадку). За кожен крок побудови кожен відрізок ламаної замінюється на „криву-генератор” з відповідною зміною масштабу. В результаті великої кількості повторень цих кроків
, ми отримаємо геометричний фрактал. Алгебраїчні фрактали є найбільшою групою фракталів. Їх отримують за допомогою нелінійних процесів в n-мірних просторах. Найчастіше використовуються двовимірні простори. Нелінійні динамічні системи мають кілька стабільних станів. Той стан, в який перейшла динамічна система після деякої кількості ітерацій, залежить від її початкового стану. Кожен стабільний стан, або атрактор, володіє деякою областю початкових станів, із яких система обов’язково потрапить в цей кінцевий стан (атрактор). Таким чином фазовий простір системи розбивається на області протягування атракторів. Якщо фазовим є двовимірний простір, то присвоюючи кожній області протягування свій колір можна отримати кольоровий фазовий портрет цієї системи (ітераційного процесу). Стохастичні фрактали отримуються в тому випадку, коли в ітераційному процесі побудови детермінованого фракталу випадково змінювати які-небудь його параметри. Отримані „рандомізовані” фрактали можуть бути використані для генерування берегової лінії, поверхні моря. Умова завдання. Побудувати фрак...